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Lunes, 24 Noviembre 2014 17:53

¿Qué es la cohomología?

Escrito por Carlos Eduardo Maldonado
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¿Qué es la cohomología?

Pensar la cohomología significa pensar en términos de multiplicidades, cocadenas, cocliclos, cobordes, poniendo de manifiesto que lo apasionante del mundo no estriba ya únicamente en lo real o en lo posible.

 

Hay un rasgo apasionante, novedoso y, sin embargo, desconocido para la mayoría de las personas acerca de la ciencia de punta contemporánea. Se trata del hecho de que la buena ciencia de frontera no se ocupa ya única y principalmente por lo real, en toda la acepción de la palabra. Ni siquiera tampoco por lo posible en todas sus modalidades (lo hipotético, lo contingente, lo probable, y demás).
Además y, fundamentalmente, la ciencia de punta nos enseña a pensar en lo imposible. Esto es, en estructuras, en fenómenos, en comportamientos, en dinámicas imposibles. El capítulo que hace propia esta otra dimensión pertenece, en general, a las matemáticas, y en particular a la topología: se trata de la cohomología. Y el ámbito específico de trabajo se denomina las multiplicidades. Un tema matemáticamente muy sofisticado y, sin embargo, bastante natural.


Una multiplicidad es en matemáticas la cantidad de pertenencias de un miembro de un multiconjunto. En otras palabras, una multiplicidad es un espacio topológico que en escala micro, en los aspectos singulares, se asemeja a un espacio euclidiano, pero globalmente difiere por completo. En términos elementales: a escala micro puede ser considerado como una figura plana euclidiana —líneas, planos, círculos—, pero a escala global (como un todo) dista mucho de ser un espacio euclidiano.


El padre de la cohomología, en general, y del que es quizás el capítulo más importante, que es la cohomología de gavilla (sheaf cohomology), es el matemático francés Alexander Grothendieck (1928–2014), fallecido el 13 de noviembre pasado. Un auténtico genio. Algunos de los desarrollos más recientes en el tema corresponden a R. Penrose, quien ha trabajado justamente en la cohomología de figuras imposibles.
Vale recordar que las tres operaciones básicas que se hace con los objetos o con el espacio en topología son: torcer, estirar y comprimir. Derivativamente, existen funciones y tensores de torción y demás, correspondientemente.


La manera más básica de entender y de acercarse a la cohomología consiste en recordar que en matemáticas la teoría de homologías —que remiten ulteriormente a los grupos abelianos (en honor del matemático noruego N. H. Abel)— se encarga del estudio de grupos (o módulos) de acuerdo a un espacio topológico. Más exactamente, la homología contribuye a la clasificación de los tipos de espacios.


Pues bien, el aspecto verdaderamente apasionante es que existen, en matemáticas, infinitos espacios. Y cada geometría designa un espacio distinto. Así, tenemos la geometría euclidiana, las geometrías no euclidianas (Riemann y Lobachevsky), la geometría proyectiva, la geometría de taxis, la geometría hiperbólica, la geometría de fractales, y así muchísimas más.


Al respecto, es fundamental observar que en el universo y en la naturaleza coexiste una multiplicidad de espacios diferentes. Y entre ellos hay, incluso, espacios imposibles, formas y patrones imposibles, estructuras y comportamientos imposibles. Pues bien, la cohomología consiste en el estudio de grupos (abelianos) definidos a partir del estudio de co–cadenas, cociclos o cobordes (vale recordar que la teoría de catástrofes, desarrollada por R. Thom, nace a partir de los antecedentes de trabajo por parte del propio Thom en el tema del cobordismo).


La manera culturalmente más próxima de acercarse a la cohomología puede ser a través de la obra en xilografías y litografías de M. C. Escher (1898—1972). Escaleras imposibles, aves que se convierten en peces, la mano que dibuja a la propia mano, en fin, desviaciones, juegos, transformaciones de la percepción natural.


En efecto, si debemos a F. Bruneleschi (1377–1445) el descubrimiento de la perspectiva, lo que ello significa en términos culturales es que la burguesía, como clase social, introduce una nueva visión perfectamente distinta a las que había habido en la historia de la humanidad. La burguesía tiene "un punto de vista", "una perspectiva", un "punto de fuga", y todo eso es la perspectiva. Las cosas, el mundo, se ven desde un punto de vista en cada caso. En lo sucesivo, en contraste con el medioevo, por ejemplo, ya no habrá una visión desde ninguna parte o, lo que es equivalente, una visión de todas partes.


Pensar la cohomología significa pensar en términos de multiplicidades, cocadenas, cocliclos, cobordes, poniendo de manifiesto que lo apasionante del mundo no estriba ya únicamente en lo real o en lo posible. Sino en el descubrimiento, en el trabajo con, y en la pasión con lo imposible mismo.


Vale la pena subrayar esta idea. Si pensar bien es pensar en todas las posibilidades, y si quien piensa bien piensa en todas las posibilidades, dentro, al lado, complementarias, en fin a éstas está, se encuentra aquella dimensión jamás imaginada en toda la historia de la humanidad. La existencia, la tematización, la problematización misma de lo imposible. Podemos así decir que quien piensa bien piensa incluso en lo imposible mismo. Es exactamente en esto, queremos decirlo, que estriba el significado cultural y social de un capítulo técnico, novedoso y apasionante de las matemáticas: la cohomología.


Naturalmente que existe una variedad amplia de teorías cohomológicas. Lo maravilloso de todas ellas (teorías ordinarias de homología, teorías K, bordimos y cobordismo) es que se trata de desarrollos perfectamente recientes, de todos los cuales el más antiguo no lega a cincuenta años, al día de hoy.


Las matemáticas constituyen un campo singular en la experiencia humana. Frente al temor que irracionalmente despiertan —debido a pésimos educadores y muy malos medios de comunicación social—, hay que decir que las matemáticas de hoy no consisten en fórmulas, ecuaciones o reglas; sino, mejor aún, en el estudio de estructuras, y según lo que les suceda a las estructuras: si permanecen o si cambian; y si cambian, entonces se trata de saber si en el cambio siguen siendo las mismas o se transforman.


La abstracción de las matemáticas es sencillamente la capacidad de imaginar o de soñar tantas posibilidades como quepa fantasear. Y ver entonces qué sucede con ellas. Pues bien, en el espectro de las posibilidades hay una que la historia de la humanidad jamás había considerado: el encuentro con lo imposible mismo. Una de las últimas fronteras.

Información adicional

  • Autor:Carlos Eduardo Maldonado
  • País:Colombia
  • Región:Suramérica
  • Fuente:Palmiguía
Visto 2581 vecesModificado por última vez en Lunes, 24 Noviembre 2014 18:09

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