Lunes, 26 Enero 2015 07:32

¿América o Colombia?

¿América o Colombia?

Puede parecer un pequeño lujo intelectual ocuparse de los nombres de los países; o de los continentes. Los nombres, algo a la vez tan artificial y permanente. Sin embargo, hay ocasiones en las que una reflexión al respecto arroja luces insospechadas y nuevas para una mirada desprevenida.


El problema: "América o Colombia" hace referencia al nombre, significado, implicaciones, filosofías y consecuencias que, en un caso, hacen referencia a Américo Vespucio; y en el otro a Cristóbal Colón. Pero hay mucha letra menuda debajo del título. Hay que leerla con atención.


Tres nombres estaban al inicio en el partidor: Las Indias, que era el nombre que se le asignaban en España a las nuevas tierras; América, el nombre que muy pronto, a comienzos del siglo XVI, se le asigna al nuevo continente, en particular, en los países del centro de Europa; y Colombia —junto con otras variaciones— que significa literalmente "la tierra de Colón", en homenaje al viajero y descubridor genovés.


De acuerdo con la historia —o la leyenda—, Américo Vespucio puso el nombre de "América" sobre los mapas elaborados a raíz de los nuevos viajes y descubrimientos de 1492 y los años siguientes (1497, etc.). La Academia de Saint Dié, en la Lorena, publicará sendos mapamundis en los que aparece el nombre de América al lado de "Europa", "África", "Asia" y demás. Y el debate que perdura por parte de numerosos autores de diversas nacionalidades desde el siglo XVI hasta el XIX, y que incluyen nombres como: La Colonea, Colonia, Coloneo, Columbaia, Colombina.


Lo que pudiera parecer una cuestión de chovinismo, o acaso de impronta intelectual, e incluso de reconocimiento u homenaje a un personaje u otro, esconde, en realidad, en este caso, un debate de ideas.


Muy específicamente, Francisco de Miranda es, en la historia del debate, una voz importante y el principal defensor para que a las nuevas tierras —y a sus habitantes, por consiguiente— se las llame "El Continente Colombiano". En su gesta por la independencia, sostenía: "Nuestro principal objeto es la independencia del Continente Colombiano, para alivio de todos sus habitantes, y para refugio del género humano".


Bolívar, por su parte, pensaba en el público liberal europeo y, muy particularmente, francés, y confiere el nombre de "Colombia" para lo que originariamente eran Venezuela y el Nuevo Reino de Granada, aun cuando tuviera en mente la independencia de toda América. Su misiva en el Congreso de Angostura (1819) es ilustrativa al respecto. Y, sin embargo, Bolívar piensa en el continente como en América.


Miranda se enfoca, pues, en "Colombia", y Bolívar termina adoptando el de "América" —con todo y su preocupación por el destino del Continente—, algo que deja escuchar con fuerza desde Haití y en otras oportunidades. Digamos, de pasada, que el debate Miranda–y–Bolívar trata de dos vertientes de la masonería.


Las guerras de independencia, en un caso, estaban orientadas a recuperar lo propio, el continente de la libertad, el refugio del género humano. A los habitantes primeros del Continente les han sido usurpados todos los derechos, y les deben ser restituidos, contra las fuerzas extranjeras que se las arrebataron. De esta suerte, Colombia hace referencia a la creación o recuperación de un Nuevo Mundo inocente. En Bolívar no se encontrará, para nada, el llamado a una continuidad de las viejas civilizaciones indígenas; algo que sí estaba en el ideario de Miranda.


Olga Cook Hincapié escribió en 1998 un excelente libro: Historia del nombre de Colombia, Bogotá, Instituto Caro y Cuervo, 1998. Una joya y una rareza en donde el problema de base considerado aquí está estudiado con todo detalle.
En este escenario, al azar, brotan remembranzas, unas más cercanas o lejanas a nosotros. "La raza cósmica" de José de Vasconcelos; la doctrina Monroe: "América para los Americanos" (1823), en fin, el debate entre América Latina (o Latinoamérica) e Iberoamérica; ésta, perdida por los españoles; aquella, ganada por los franceses. Y no en última instancia, los giros, temas y debates en torno a postcolonialismo (W. Mignolo), y otros temas próximo y semejantes.


Ello, para no mencionar el hecho —delicado para una cierta tradición— de que Miranda era partidario de que con el Continente Colombiano "se convocara a una vida histórica propia" por parte de los habitantes de las nuevas tierras. Más allá de las herencias, deudas y favores hacia otras potencias. Algo que, al parecer, no alcanzó a vislumbrar enteramente Bolívar.


El trabajo de y sobre las palabras es un tema delicado. En la historia del pensamiento, el análisis del lenguaje es el patrimonio del empirismo lógico. Una tradición filosófica y científica, constituida y alimentada principalmente por lógicos y matemáticos. El análisis del lenguaje se traduce rápidamente en el reconocimiento explícito de que, efectivamente, hacemos cosas con palabras (Austin).


Pues bien, el drama de la existencia radica en que en numerosas ocasiones los problemas reales terminan resolviéndose en términos de palabras, y confundimos así las palabras con las cosas. Frente a este estado de cosas, la distinción de las palabras, la crítica de los nombres y los conceptos, el análisis del uso del lenguaje se revelan como altamente críticos y radicales.


Para todos los efectos prácticos, digamos: América Latina: el último refugio del catolicismo (por eso la elección del papa Francisco). El último reservorio de recursos naturales. Acaso, incluso, la última frontera de desarrollo y crecimiento económico —una vez que los llamados "Tigres Asiáticos" hicieron lo suyo—. América Latina: la fuente para el estudio de la felicidad, las alternativas al desarrollo y el aprendizaje del buen vivir (suma qamaña y sumak kawsay). Muchos son los intereses y las mirada sobre Latinoamérica, y muchas también las esperanzas y los aprendizajes.


¿Colombia o América? (Incluso con ese apellido: América Latina). En ocasiones, las palabras terminan siendo lo último que modificamos.

Publicado enColombia
Miércoles, 14 Enero 2015 05:57

¿Quién era Alexandre Grothendieck?

¿Quién era Alexandre Grothendieck?

En Grothendieck se combina la inteligencia, la imaginación, la osadía y la independencia y el criterio propio. Grothendieck fue a la vez un genio y un ser libre. Y esa libertad le valió una gran gloria, pero fue al mismo tiempo el precio que debió pagar.


Toda (gran) obra es el resultado (aleatorio) de tres grandes factores: a) la biografía —esto es la personalidad, la sexualidad, las emociones, las capacidades y las limitaciones de alguien—; b) el entorno social en el que nació, se desarrolló y vivió —así, por ejemplo, si vive en un país desarrollado o no, en contextos de paz o de guerra, el soporte familiar y de amigos y colegas—, y c) el momento histórico que le tocó vivir —por ejemplo, etapas de crisis o de desarrollo, apoyo estatal o privado a la investigación o no, etc.—. Desarrollar las imbricaciones, cruces, congruencias y vacíos entre estos tres grandes conjuntos constituye el objeto de un trabajo mayor.


Si se hiciera, caprichosamente, acaso, la lista de los principales matemáticos del siglo XX, sin la menor duda aparecerían D. Hilbert, S. Smale, A. Kolmogorov y P. Erdös, para no mencionar a N. Bourbaki. Los demás nombres que pudieran completar la lista sería seguramente ya una cuestión de menor unanimidad o consenso.


Pues bien, en la lista mencionada hay una figura que descuella, en más de un sentido, con luz propia: Alexandre Grothendieck (1928–2014). Grothendieck es la expresión que representa genio y autonomía —hasta la radicalidad.
Apátrida (esto es, literalmente, sin patria ni pasaporte durante la mayor parte de su vida), el genio que introdujo el análisis funcional y la geometría algebraica, fue la conciencia más lúcida y crítica, por consiguiente, del establecimiento científico francés al que denominó siempre como "corporativista". Según Grothendieck, el corporativismo en ciencia se caracteriza porque se ha estudiado en una famosa universidad, se ha hecho un doctorado en una famosa universidad, se es acogido por las figuras más descollantes de la intelectualidad, la cultura y la ciencia, y se tiene, por tanto, una posición confortable y cómoda. En el caso francés, esto hace referencia al Instituto de Altos Estudios Superiores, a la Escuela Politécnica, a la Academia Francesa de Ciencias o al CNRS, notablemente. Grothendieck no fue precisamente el ejemplo del corporativismo mencionado.


En Grothendieck se combina la inteligencia, la imaginación, la osadía y la independencia y el criterio propio. Grothendieck fue a la vez un genio y un ser libre —en toda la acepción de la palabra—. Y esa libertad le valió una gran gloria, pero fue al mismo tiempo el precio que debió pagar al final de su vida.


Los años dorados de Grothendieck giran alrededor del Instituto de Altos Estudios Científicos (IHES en francés), un instituto privado creado por L. Motchane en 1950. Cabe decir que el IHES fue establecido específicamente para R. Thom y A. Groethendiceck. Antes y después, la vida académica e intelectual de Grothendieck transcurre en universidades "de provincia", de menor calidad —comparativamente con el centro que es París— y al margen de las élites intelectuales y científicas de Francia; Francia, un país sempiternamente centralista (y que justamente por eso se inventó el derecho administrativo y todas sus consecuencias).


Los campos creados y en los que trabajó con originalidad Grothendieck incluyen, muy notablemente, el análisis funcional, geometría algebraica y teoría de números, los espacios de vector topológico, el álgebra homológica. Fue uno de los padres de la cohomología, la teoría de categorías y el análisis complejo, sin olvidar la teoría de esquemas, la teoría K —temas que si bien la mayoría de la gente desconoce, constituyen ejes, avenidas o filones que marcan a toda la matemática actual—. Hasta el punto de que, por ejemplo, como se ha dicho en varias ocasiones, ninguno de los famosos Problemas del Milenio —que son los siete o seis grandes problemas llamados "últimos" de las matemáticas— puede ser resuelto sin incorporar, por lo menos parcial o tangencialmente, los terrenos trabajados y abiertos por Grothendieck. La capacidad de trabajo de Grothendieck, aunada a su inmensa libertad de pensamiento y capacidad imaginativa, constituyeron ejes de una obra sólida y original.


En 1966 Grothendieck recibe la Medalla Fields (el equivalente al Premio Nobel en matemáticas). Antimilitarista convencido, renunció al IHES cuando se enteró que algunas investigaciones estaban siendo financiadas por los militares. Por lo demás, hay que decir que en la época, los profesores del IHES eran pagados de manera muy irregular. Pacifista inveterado (sus padres habían sido anarquistas), fue un crítico acérrimo de la guerra de Vietnam y del expansionismo militar de la URSS, fue siempre sensible a los temas delicados de pobreza y marginamiento social. Cosas, todas, raras entre los matemáticos en general.


En un momento dado hacia su época de madurez y crítica del establecimiento matemático y científico, se interesa por la biología, la física teórica y los acontecimientos en el orden social y político que representaron Mayo de 1968.
En 1970 decide retirarse de la vida académica y científica de Francia y el mundo, y posteriormente, en 1988, finalmente decide retirarse de toda la sociedad. Se traslada a los Pirineos y permanece en total aislamiento del resto del mundo hasta su muerte.


La importancia de la obra de Grothendieck estriba en el reconocimiento explícito de que ningún problema actual de punta en matemáticas puede ser resuelto sin atravesar por la obra de Grothendieck. Una obra difícil por lo técnica, sintética y original a la vez, en la que se debe mencionar sin duda alguna los Éléments de géometrie algébrique. Por otra parte, Récoltes et Sémailles es un texto único sobre las relaciones entre la vida y las matemáticas (de alrededor de 1500 páginas). Así, globalmente, se trata de una obra que emerge como condición de posibilidad para la comprensión y solución de numerosos otros problemas matemáticos. E incluso científicos.


Prácticamente todos los textos —libros y artículos— de Grothendieck se encuentran disponibles en http://www.grothendieckcircle.org, conjuntamente con los textos de sus seminarios y las biografías escritas sobre Grothendieck. Sin embargo, permanecen sin publicarse más de veinte mil páginas de sus escritos. El "Círculo de Grothendieck" constituye quizás el más sincero y apasionado de los esfuerzos humanos e intelectuales en torno a un científico —en general— para mantener su obra y su legado.


Finalmente, cabe decir que Grothendieck estuvo casado con M. Dufour y tuvo cinco hijos (tres de su matrimonio y dos de dos relaciones extramatrimoniales distintas).


Alexandre Grothendieck, una hermosa expresión de la complejidad de las relaciones entre la vida, la ciencia —en este caso las matemáticas— y el momento social cultural e histórico que le tocó vivir. Esto es, de la ausencia de correspondencias lineales y formales entre la vida, su ciencia y, en fin, su obra misma.

Lunes, 24 Noviembre 2014 17:53

¿Qué es la cohomología?

¿Qué es la cohomología?

Pensar la cohomología significa pensar en términos de multiplicidades, cocadenas, cocliclos, cobordes, poniendo de manifiesto que lo apasionante del mundo no estriba ya únicamente en lo real o en lo posible.

 

Hay un rasgo apasionante, novedoso y, sin embargo, desconocido para la mayoría de las personas acerca de la ciencia de punta contemporánea. Se trata del hecho de que la buena ciencia de frontera no se ocupa ya única y principalmente por lo real, en toda la acepción de la palabra. Ni siquiera tampoco por lo posible en todas sus modalidades (lo hipotético, lo contingente, lo probable, y demás).
Además y, fundamentalmente, la ciencia de punta nos enseña a pensar en lo imposible. Esto es, en estructuras, en fenómenos, en comportamientos, en dinámicas imposibles. El capítulo que hace propia esta otra dimensión pertenece, en general, a las matemáticas, y en particular a la topología: se trata de la cohomología. Y el ámbito específico de trabajo se denomina las multiplicidades. Un tema matemáticamente muy sofisticado y, sin embargo, bastante natural.


Una multiplicidad es en matemáticas la cantidad de pertenencias de un miembro de un multiconjunto. En otras palabras, una multiplicidad es un espacio topológico que en escala micro, en los aspectos singulares, se asemeja a un espacio euclidiano, pero globalmente difiere por completo. En términos elementales: a escala micro puede ser considerado como una figura plana euclidiana —líneas, planos, círculos—, pero a escala global (como un todo) dista mucho de ser un espacio euclidiano.


El padre de la cohomología, en general, y del que es quizás el capítulo más importante, que es la cohomología de gavilla (sheaf cohomology), es el matemático francés Alexander Grothendieck (1928–2014), fallecido el 13 de noviembre pasado. Un auténtico genio. Algunos de los desarrollos más recientes en el tema corresponden a R. Penrose, quien ha trabajado justamente en la cohomología de figuras imposibles.
Vale recordar que las tres operaciones básicas que se hace con los objetos o con el espacio en topología son: torcer, estirar y comprimir. Derivativamente, existen funciones y tensores de torción y demás, correspondientemente.


La manera más básica de entender y de acercarse a la cohomología consiste en recordar que en matemáticas la teoría de homologías —que remiten ulteriormente a los grupos abelianos (en honor del matemático noruego N. H. Abel)— se encarga del estudio de grupos (o módulos) de acuerdo a un espacio topológico. Más exactamente, la homología contribuye a la clasificación de los tipos de espacios.


Pues bien, el aspecto verdaderamente apasionante es que existen, en matemáticas, infinitos espacios. Y cada geometría designa un espacio distinto. Así, tenemos la geometría euclidiana, las geometrías no euclidianas (Riemann y Lobachevsky), la geometría proyectiva, la geometría de taxis, la geometría hiperbólica, la geometría de fractales, y así muchísimas más.


Al respecto, es fundamental observar que en el universo y en la naturaleza coexiste una multiplicidad de espacios diferentes. Y entre ellos hay, incluso, espacios imposibles, formas y patrones imposibles, estructuras y comportamientos imposibles. Pues bien, la cohomología consiste en el estudio de grupos (abelianos) definidos a partir del estudio de co–cadenas, cociclos o cobordes (vale recordar que la teoría de catástrofes, desarrollada por R. Thom, nace a partir de los antecedentes de trabajo por parte del propio Thom en el tema del cobordismo).


La manera culturalmente más próxima de acercarse a la cohomología puede ser a través de la obra en xilografías y litografías de M. C. Escher (1898—1972). Escaleras imposibles, aves que se convierten en peces, la mano que dibuja a la propia mano, en fin, desviaciones, juegos, transformaciones de la percepción natural.


En efecto, si debemos a F. Bruneleschi (1377–1445) el descubrimiento de la perspectiva, lo que ello significa en términos culturales es que la burguesía, como clase social, introduce una nueva visión perfectamente distinta a las que había habido en la historia de la humanidad. La burguesía tiene "un punto de vista", "una perspectiva", un "punto de fuga", y todo eso es la perspectiva. Las cosas, el mundo, se ven desde un punto de vista en cada caso. En lo sucesivo, en contraste con el medioevo, por ejemplo, ya no habrá una visión desde ninguna parte o, lo que es equivalente, una visión de todas partes.


Pensar la cohomología significa pensar en términos de multiplicidades, cocadenas, cocliclos, cobordes, poniendo de manifiesto que lo apasionante del mundo no estriba ya únicamente en lo real o en lo posible. Sino en el descubrimiento, en el trabajo con, y en la pasión con lo imposible mismo.


Vale la pena subrayar esta idea. Si pensar bien es pensar en todas las posibilidades, y si quien piensa bien piensa en todas las posibilidades, dentro, al lado, complementarias, en fin a éstas está, se encuentra aquella dimensión jamás imaginada en toda la historia de la humanidad. La existencia, la tematización, la problematización misma de lo imposible. Podemos así decir que quien piensa bien piensa incluso en lo imposible mismo. Es exactamente en esto, queremos decirlo, que estriba el significado cultural y social de un capítulo técnico, novedoso y apasionante de las matemáticas: la cohomología.


Naturalmente que existe una variedad amplia de teorías cohomológicas. Lo maravilloso de todas ellas (teorías ordinarias de homología, teorías K, bordimos y cobordismo) es que se trata de desarrollos perfectamente recientes, de todos los cuales el más antiguo no lega a cincuenta años, al día de hoy.


Las matemáticas constituyen un campo singular en la experiencia humana. Frente al temor que irracionalmente despiertan —debido a pésimos educadores y muy malos medios de comunicación social—, hay que decir que las matemáticas de hoy no consisten en fórmulas, ecuaciones o reglas; sino, mejor aún, en el estudio de estructuras, y según lo que les suceda a las estructuras: si permanecen o si cambian; y si cambian, entonces se trata de saber si en el cambio siguen siendo las mismas o se transforman.


La abstracción de las matemáticas es sencillamente la capacidad de imaginar o de soñar tantas posibilidades como quepa fantasear. Y ver entonces qué sucede con ellas. Pues bien, en el espectro de las posibilidades hay una que la historia de la humanidad jamás había considerado: el encuentro con lo imposible mismo. Una de las últimas fronteras.

Significado e impacto social de las ciencias de la complejidad

 

1era reimpresión, 2015
Edición 2013. Formato: 11,5 x 17,5 cm, 76 páginas
P.V.P: $15.000 ISBN: 978-958-8554-66-5

 

Reseña:

La ciencia, no cabe duda, tiene implicaciones de orden social y político. En la amplia y creciente bibliografía sobre complejidad no existe ningún trabajo acerca del significado y el impacto social de los estudios sobre la misma. Este libro quiere llenar ese vacío y sirve, a la vez, de introducción básica a los más importantes conceptos y ejes de las ciencias de la complejidad.

 

Carlos Eduardo Maldonado. Ph.D. en filosofía por la KU Leuven ( Bélgica); postdoctorados como Visiting Scholar, University of Pittsburgh, como Visiting Research Professor, The Catholic University of America, Washington, D.C, como Visiting Scholar, University of Cambridge ( Inglaterra). Doctor Honoris Causa, por la Universidad de Timisoara, Rumania. Profesor Titular, Universidad del Rosario ( Bogotá, Colombia), Facultad de Ciencia Política y Gobierno.

 


 

Índice.

 

Prefacio de la segunda edición.

Introducción.

El carácter de la ciencia hoy.

La comunidad académica y la comunidad científica.

Las ciencias de la complejidad.

¿Qué significa pensar en el sentido de las ciencias de la complejidad? 

La complejidad tiene implicaciones sociales y políticas.

Tres tipos de sistemas sociales.

Un aspecto de la ciencia de punta actual: la compútación.

Addenda: I.

Addenda: II.

Referencias bibliográficas.

 

 

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Este escritor singular es oriundo del mundo de las ciencias. Orfebre de los números y las palabras, convive en los dos universos y los combina para dar lugar a una obra única. Compañero de ruta de Italo Calvino, Georges Pérec, Marcel Duchamp o Julio Cortázar, sorprende por su visión de la poesía.
    
Números y palabras. O a la inversa. Poesía y matemática, irracionalidad imaginaria y racionalidad científica. Sólo un poeta convive en esos dos mundos y traza una relación entre las cifras y las palabras: Jacques Roubaud. Este escritor singular y exquisito es oriundo del mundo de las ciencias. Matemático de profesión, Roubaud desarrolló una obra poética, narrativa, ensayos y traducciones de una originalidad sorprendente. El lector lo espera en un ángulo, Roubaud aparece en otro. Figura sobresaliente de ese invento matemático literario que es el Oulipo –taller de literatura potencial– y en cuyo seno desfilaron autores como Italo Calvino, Raymond Queneau, Georges Pérec, Marcel Duchamp o Julio Cortázar, Roubaud tiene una extensa y divertidísima obra poética. El Oulipo es un movimiento que postula el trabajo de la escritura como un desafío a la arbitrariedad de la creación. En la seriedad del postulado casi científico que Roubaud defiende, “si no nos fijamos reglas podemos terminar repitiendo lo que ya escribimos”, se esconde una libertad plena, un prodigioso viaje a través de los sentidos y las combinaciones inusitadas de las palabras. ¿Qué es un autor del Oulipo? Sus integrantes responden: “Es una rata que construye por sí misma el laberinto del que se propone salir”. La obra maestra de esa disciplina es la novela de Georges Pérec, La desaparición, en la cual no figura la letra “e”. Nada define mejor la obra de este poeta genial y humilde como ese enunciado de la rata: sus poemas son construcciones de rigurosos laberintos en los cuales las palabras vienen a ser las llaves que van abriendo los pasillos. Jacques Roubaud, a sus casi 80 años, es un mega híper moderno: al adjuntar a su experiencia poética la herencia y la cultura de su profesión de matemático el autor francés hace cohabitar en su obra los números que nos rigen y las palabras con que nos expresamos. No puede haber nada más moderno: cifras, combinaciones, números y palabras. Obra deliciosa, juvenil, juguetona y profunda, la poética de Jacques Roubaud alegra la vida y los oídos. El modelo de Roubaud es musical y matemático: su matriz son los trovadores del siglo XII. Sus composiciones le sugieren la rima y el tejido matemático del poema. ¿Matemático o poeta? La poseía es un descanso de las matemáticas, las matemáticas, un descanso de la poesía, dice Roubaud.

Juego, arte, disciplina, ironía y juventud. Este poeta francés, cuyos libros han sido escasamente traducido al español, plantea una idea a la vez anacrónica y original: “la poesía, para seguir existiendo, debe defenderse del olvido, de la desaparición, de la irrisión a través de la elección de un arcaísmo. El arcaísmo del trovador es el mío”. Trovar, cantar, jugar, combinar con inocencia y pasión, sin meta comercial o beneficio, esa hazaña en un siglo de velocidad y superficialidad aún existe, tangible y mágica, en la obra poética de este autor. “La idea de poesía como arte, como artesanía y como pasión, como juego, como ironía, como búsqueda, como saber, como violencia, como actividad autónoma, como forma de vida, esa idea la hice mía.” Para quienes se preguntan para qué sirve la poesía, cómo es aún posible su existencia, y qué tienen que ver los números con las palabras, Jacques Roubaud es una introducción rigurosa y epifánica para saborear el olvidado asombro.

Números y palabras

–Usted aúna en su obra poética dos universos aparentemente inconciliables: las palabras y los números, la matemática y la poesía. ¿Qué lazo hay entre estas dos invenciones geniales de la humanidad?

–A diferencia del lenguaje corriente, en la mayoría de las poesías del mundo, de los relatos, se utiliza mucho los números. La poesía tradicional francesa se apoya en los números. En cada idioma hay números que gustan más que otros. A los japoneses, por ejemplo, no les gustan los números pares. En Francia, por el contrario, hemos tenido una pasión por el 12, un número desechado en España o en Italia. Hay como una suerte de número amado en los idiomas. Profesionalmente, mi vida fue la de un matemático, y, como poeta, muy rápidamente me ocupó la relación entre poesía y número.

–Estamos sitiados por los números, por los códigos. Los números han entrado a formar parte de los instrumentos cotidianos de relación con la realidad. ¿Acaso la poesía puede salvarnos de los números?

–Los números son como el mismo idioma, pueden hacerse cosas buenas y cosas malas. Hay una manera de tratar los números como cantidad, es decir la acumulación, o, al contrario, se los puede usar para censar a la gente, un principio muy apreciado por las autoridades pero que no constituye un uso agradable de los números. Los números se usan también para los códigos, pero aquí la codificación tiene un destino más bien de protección del secreto bancario. Sin embargo, en la vida se emplean muchos códigos, y en la poesía también. Los poetas usan los números de forma mucho más simpática. La poesía puede emplear los números desde este ángulo, más lúdico, y no del lado maléfico.

La poesía como memoria del idioma

–En un mundo tan plano, tan brutal, tan escasamente poético, dominado por la imagen comercial y la función de beneficio, la poesía aparece como una suerte de arte gratuito, espontáneo, sin especulación.

–Hay una lucha constante entre la tendencia de la sociedad por olvidar la poesía porque no es comercial, y la poesía misma que busca medios de existencia donde el aspecto comercial sea secundario. La poesía tiene una función especial, tanto para quienes la componen como para quienes la reciben. La poesía ofrece a los individuos lo que es más precioso en su idioma. Es lo que yo llamo la función memoria del idioma, es decir, la poesía como una memoria del idioma. La poesía no apunta a contar esto o lo otro, a demostrar una u otra tesis política, sino que apunta a hacer que el lazo de cada individuo con su memoria, con su idioma, sea lo más precioso posible. Desde la infancia misma, a los niños les gusta la poesía porque, a través de ella, los niños entran en su propio idioma. Mediante la poesía, el idioma les pertenece. La poesía trata de preservar esa dimensión y de emplear el idioma de una forma que evite que se vuelva mediocre. Los discursos políticos, comerciales, son extremadamente mediocres. La poesía conserva esa función de preservación de la calidad del idioma y de la memoria del lenguaje. Ahora bien, por otra parte, no estoy seguro de que la poesía esté contenta con ese estatuto de arte completamente gratuito. Quien habla de un arte que no se inscribe en el mundo comercial está aceptando que ese arte tiene dificultades para ser visible. Claro, los poetas no buscan el éxito comercial. Si alguien decide a los 20 o 25 años ser poeta sabe perfectamente que nunca hará fortuna. Pero los progresos de la técnica torna posibles, mucho más que antes, la difusión de la poesía. Se pueden realizar pequeñas ediciones y también hacer que los poemas existan en una pantalla, gracias a Internet. Es muy difícil leer una novela en una pantalla, pero no la poesía. La existencia visual y oral de la poesía puede perfectamente servirse de los progresos técnicos. La poesía debe poder existir tanto en una página como en el oído y en la boca.

–Estamos tan lejos de Dios como de la naturaleza y del lenguaje. ¿La poesía podría ser un lazo, una resonancia, con esas entidades?

–La poesía debe ser la resistencia del idioma ante su corrupción, ante su descrédito, su mal uso, ante la tendencia a usar un idioma para cosas feas, malas. Haciendo que el idioma sirva para lo bello, lo precioso, la poesía mantiene la existencia del idioma. Salvo en un caso, la poesía no interviene en la sociedad. Si estamos en una situación en la cual la gente no puede hablar porque existe una prohibición dictatorial o política, en ese caso la posibilidad de hablar pasa por la poesía. Pero en los países donde uno puede expresarse, donde no hay dictadura, la resistencia de la poesía se expresa por su actitud a no rebajar el idioma. El pasado y el presente de la vida surgen en la poesía. Todo lo que hemos atesorado en la memoria empapa la poesía. Los poetas tienen un papel importante para desempeñar en relación con el idioma en el que viven. ¡El idioma es un instrumento muy importante!: a través de él se transmite el pensamiento, la esperanza en el porvenir. La poesía es uno de los caminos para salvarnos. Y digo UNO y no EL camino. Hay otros. Cuando el idioma se acuerda de su pasado mediante la poesía se adelanta a lo que será. Muchas evoluciones del idioma fueron previstas por los poetas.

–Ahora bien, esa pureza del idioma que persiste gracias a la poesía, ¿acaso no desautoriza su traducción?

–Existe una tesis sobre la naturaleza de la poesía que dice: “un poema debe ser considerado definido por el conjunto de sus traducciones”. Cada lectura que hacemos de un poema es una traducción. Traducimos el poema que está en nuestro idioma hacia la forma en que comprendemos el idioma y los sentidos de las palabras. En realidad, hay una simpatía general entre los idiomas. Los oponemos mucho pero es un error. Y esa simpatía general va a transitar de poesía en poesía. Es entonces esencial que las grandes poesías se traduzcan a otros idiomas.

Las propiedades poéticas de los números

–¿Y los números?

–Si no se la utiliza con fines puramente pragmáticos, la matemática también puede servir para esto. Hay investigaciones puras sobre la belleza de los números que restauran la integridad y la pureza de los números. La belleza de las palabras se plasma en sus asociaciones. Las palabras serán tanto más bellas cuanto que las asociaciones y construcciones en las cuales las introducimos sean acertadas. Y es precisamente allí donde intervienen los números. Esto no es nuevo, muchas tradiciones poéticas han basado la poesía en los números. En mi caso, mi fuente han sido los trovadores. Los trovadores concibieron la poesía a través de los números. Para ellos, no todos los números son iguales porque existen familias de números que son más bellas que otras. Y de esas familias bellas, los trovadores definían formas poéticas. También son los últimos que plasmaron la unión del texto y la música.

–Resulta extraño concebir la existencia de esos dos mundos: la extrema racionalidad de la matemática combinada con la dimensión imaginaria de las palabras y la poesía.

–La imaginación matemática, en particular la imaginación que se sustenta en los números, no se asemeja a la racionalidad ordinaria. Los números tienen propiedades asombrosas. Uno de los grandes matemáticos del siglo XX, Ramanujan, decía: “Cada número tiene que ser nuestro amigo personal, pero entre éstos hay números que son mejores amigos que otros”. Se cuenta que, en su lecho de muerte, Ramanujan recibió la visita de un matemático amigo suyo, Hardy. Hardy le dijo: “Vine a verte en taxi pero el número del taxi no era interesante”. Ramanujan le dijo: “Amigo, es el número más pequeño que puede escribirse de dos formas como la suma de dos cubos”. Existen así estas maravillas de relación entre los números. Desde luego, cuando hablo de números, los más prestigiosos son los números enteros. Hay muchas maneras de pasar de la palabra a los números. Hay por ejemplo una manera de situar la letra de las palabras y su correspondencia en el abecedario con los números. Cada letra quedará sí asociada a un número. También es posible descomponer la palabra en sílabas y asociarle una familia de números. Podemos realizar un retrato de la palabra con números. Como hay muchos caminos para ir de las palabras a los números, el trabajo de la poesía consiste en abrir esos caminos.

–Hay algo paradójico en ese postulado. Si leemos poesía en una pantalla, en realidad, detrás de la imagen que vemos hay números. La producción de la imagen es numérica.

–Así es. La poesía viene a colonizar esa sopa de números. Pero esos números están arreglados por razones puramente técnicas. Pero cuando la poesía se apodera de la configuración de los números lo que hace es dotarlos de un rostro. El ascenso de la matemática no es más que la emergencia del sector de la matemática más utilizable, comercial, y no es la mejor. Es necesaria, desde luego. Pero ese segmento de la matemática no tiene que llevarse la exclusividad. Hay sectores de la matemática que son tan difíciles de imponer como la poesía. En particular, el campo de las propiedades de los números. Aquí estamos ante corrientes más profundas y más finas. Este sector está fuera de los números cuantitativos. ¡Los números cualitativos poseen propiedades inverosímiles! No confundo las dos cosas: la poesía es la poesía y la matemática la matemática. Ambas conservan su dimensión libre. Hay, con todo, un sector de la matemática que conserva su libertad, que no puede ser reducido a la utilización comercial.

Los números también hacen llorar

–Intuyo un límite en la función del número que usted propone: la poesía alivia el alma. Si estamos solos o tristes, una poesía puede reconciliarnos, los números no.

–A uno de mis amigos con el que trabajé mucho sobre la matemática le preguntaron por qué hacia estudios matemáticos basados en números extraídos de poemas que producían un gran efecto emocional. El respondió: “Quiero comprender por qué los números hacen llorar”. Lo mismo que en la poesía y la música, muchos de esos efectos de la emoción también pasan a través de los números. Por eso mi amigo se pregunta “por qué los números hacen llorar”. Desde luego, nadie ve a los números de esa manera, pero si los miramos de una manera profunda vamos a encontrar esas emociones. Podríamos hablar de un esqueleto de números vestido con palabras.

–¿Por qué la gente no reconoce la poesía que existe en la racionalidad extrema?

–Porque la gente sólo se relaciona con un tipo de racionalidad, la racionalidad económica, que está exenta de dimensión poética. La poesía está construida también de forma muy racional. Como decían los trovadores, es un trabajo de herrero, se trabaja con las manos, que manipulan las palabras. En apariencia, y sólo en apariencia, las palabras tienen más sentidos, más propiedades que los números. Es falso. Todo depende del conjunto de propiedades que hemos extraído de un número. Muy a menudo sólo conocemos de un número sus propiedades muy pobres, pero, sin embargo, ese mismo número tiene otras propiedades, una familia inmensa, con un montón de primos que desconocemos. Los números son más ricos de lo que creemos. Yo escribo caminando, en mi cabeza. Camino, me acuerdo de cosas, observo, percibo, compongo. En esa caminata también interviene una suerte de batería de cocina de números, que siempre tengo en reserva. La matemática entra así en la poesía. En esa batería de números que tengo en la cabeza voy a poner las palabras con las que construyo el poema. El ritmo de la marcha influye en las sílabas y los versos. Ahora, con los años, mis caminatas son más cortas y lentas. Mis poemas son también más breves.

–¿Cuál es su número preferido?

–No tengo un número preferido sino una familia de números. Es la familia compuesta por los llamados números de Raymond Queneau: están el seis, nueve, el 11, el 14, el 23. Trabajo mucho con esos números porque son mi gran familia.

Por Eduardo Febbro
Desde París
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Miércoles, 27 Octubre 2010 06:26

Sobre la filosofía de las matemáticas

–No hablemos tanto del número omega, que ya está en todos lados, sino de sus posturas filosóficas sobre la matemática. Usted tiene una postura...

–Cuasi empírica, diría.

–¿Y en qué consiste una postura cuasi empírica en matemática?

–Mi enfoque es desde el punto de vista de la teoría de la información. Para mí una teoría (tanto física como matemática) lo que hace es comprimir. Comprender es comprimir. Lo que hace es comprimir hechos experimentales en una estructura más simple que los explica a todos. En el caso de la matemática es parecido: en este caso no son hechos experimentales lo que explicamos, sino hechos numéricos, y no son ecuaciones matemáticas, sino que son los axiomas de la matemática. Me parece que en ambos casos lo que hace una teoría es organizar lo que vemos en una estructura que lo hace más comprensible y nos ayuda a predecir lo que va a pasar si hacemos otros cálculos u otros experimentos. En ambos casos estoy pensando en la teoría como software, como algoritmo: en el caso de la física es un algoritmo para calcular hechos experimentales; en el caso de la matemática es más bien deducir mecánicamente consecuencias que son las consecuencias lógicas de los primeros principios. Desde este punto de vista, las dos cosas no son demasiado diferentes. Yo no veo una ruptura tan enorme entre la física y la matemática. De un lado se insiste en que las demostraciones rigurosas son una necesidad imperiosa y del otro lado el físico se contenta a veces con argumentaciones heurísticas: el físico no dice que la ecuación de Schröedinger es evidente de por sí, pero desde la matemática se insiste en que un axioma debe ser evidente de por sí. En fin: no digo que la matemática y la física son idénticas, porque eso es falso, pero creo que habría que conceder que tienen un grado de parentesco más grande que lo que se admite habitualmente.

–Uno puede pensar la física como estructura axiomática, también. Los Principia de Newton son una estructura axiomática: se parte de ahí y opera todo como un sistema formal.

–Hasta cierto punto, porque las demostraciones que utilizan los físicos no satisfacen del todo a los matemáticos.

–Bueno, porque nadie se pone a hacerlas rigurosas, pero si alguien quisiera...

–¿Usted cree que se puede?

–Creo que la creencia de todo físico es que todo aquello que es matemáticamente deductible es físicamente real. ¿Usted estaría tomando el sistema axiomático como una empiria?

–Tomemos el famoso resultado de Gödel de 1931. ¿Hay que tomarlo en serio o no? La mayoría de los matemáticos dicen que no hay que tomarlo en serio. Yo no lo sé, pero decidí dedicar mi vida a jugar con la posibilidad de que el resultado de Gödel es serio. Si se toma demasiado en serio, no existe la prueba: trabajé durante tres días tratando de demostrar algo, no lo pude hacer, entonces lo propongo como un nuevo postulado. Un matemático diría que es ridículo, pero esa sería una actitud extrema provocada por Gödel. Yo no quiero eso. A mí me parece que la física y la matemática, en lugar de estar tan separadas, deberían entrar en un continuo donde se amalgamen la rigurosidad demostrativa de la matemática y las argumentaciones heurísticas de la física. No hay que construir una pared infranqueable...

–Es que no la hay.

–Bueno, y sin embargo en una revista de matemática no se puede publicar un argumento que andaría muy bien en una revista de física.

–El físico lo que sí hace es, después de un proceso de deducción, ir a la realidad y medir.

–El matemático también lo puede hacer. Por ejemplo: la hipótesis de Riemann, cuya consecuencia es que los números primos se tienen que distribuir de determinada manera. Uno se puede poner a hacer un cálculo monstruoso para ver si efectivamente los primos se distribuyen de esa manera.

–O ver cómo se distribuyen los números primos realmente.

–Sí. En teoría de números se trabaja de una forma cuasi empírica. Porque muchas veces mediante muchos cálculos se ven muchos casos y la gente conjetura algo que después se tarda centenares de años en demostrar.

–La conjetura de Goldbach...

–Claro. En ese campo en particular, la brecha entre lo que se cree cierto en base a cálculos y lo que se puede demostrar es enorme.

–Pero uno no puede construir una teoría matemática sobre la conjetura de Goldbach.

–Bueno, fíjese lo que pasa aquí. Hay una conjetura que se llama P no igual NP. Y otra conjetura que dice que factorizar números grandes requiere un tiempo de cómputo monstruoso, que es la base de muchos sistemas secretos. La gente en teoría de la computación no se puede detener porque no logra demostrar algunas cosas fundamentales: toda la comunidad cree en ciertos resultados y ellos siguen adelante.

–En cierta forma se puede decir que pasó lo mismo con el análisis hasta la llegada de Cauchy.

–Bueno, fue no riguroso.

–Claro. Cuando Berkeley decía que no tenía ningún sentido, tenía razón.

–El insistir en el rigor matemático a veces destroza un campo. Especialmente cuando ese campo es nuevo, y las ideas se están explorando. Una vez que la parte creativa terminó, entonces llegan los “abogados”, los matemáticos que quieren pulir todo y dejar una forma axiomática cerrada. Pero la parte creativa no se hace así.

–No se olvide que, también, por el problema de la falta de rigor Cauchy confundió dos conceptos de continuidad que crearon un lío espantoso.

–Sí, es cierto. Hoy en día está de moda decir que la matemática es un sistema riguroso formal axiomático “a la Hilbert” y que el rigor es lo más importante. El método axiomático, desde esta perspectiva, es la matemática. Pero hay otros que dicen que el método axiomático es un cementerio para las ideas. Una vez que todo está en un sistema axiomático formal, el trabajo creativo se acabó. Creo que la escuela Bourbaki exageró muchísimo. Yo creo que el teorema de Gödel apoya para decir que Bourbaki exageró: es decir, hay una parte irreductible que es creativa dentro de la matemática, lo cual significa que su realidad no es blanca o negra como se pensaba. Es posible que se produzca una ruptura, que dos escuelas diferentes crean en primeros postulados que sean incompatibles entre sí...

–Bueno, durante bastante tiempo los resultados de Cantor no fueron aceptados hasta que Hilbert intervino...

–El problema es que esos resultados todavía son paradójicos y contradictorios. Ese campo es muy peligroso porque se producen paradojas muy fácilmente. Yo no soy especialista en nada de eso. Yo creo que hubiese sido muy lindo si Hilbert hubiese tenido razón...

–Hubiese sido muy aburrido...

–Bueno, estamos de acuerdo. Hubiese sido un sistema cerrado, mecánico, y eso no es cierto. La matemática tiene una parte creativa irreductible. Yo creo que Gödel hace eso: nos da libertad creativa a los matemáticos. Y no debemos desechar esta creatividad.

–Hay dos formas de entender la creatividad. Una es pensarla como que no hay una cadena lógica y es necesario adivinar un axioma. La otra es pensar que la creatividad viene de comprimir una cadena lógica muy larga con una nueva idea.

–Gödel decía que una razón pragmática para adoptar un nuevo principio es que achica demostraciones de cosas que uno ya pudo demostrar. Los teóricos de la teoría de conjuntos han agregado axiomas nuevos, como por ejemplo el “proyective determinacy”. Los matemáticos más agudos del mundo están convencidos de que estos principios faltaban en los axiomas, pero hicieron falta treinta años de trabajo para descubrirlos.

–¿La matemática está en un atolladero?

–Creo que hay algunos problemas: demasiado formalismo, por ejemplo, lo cual puede producir miedo en los estudiantes. Yo creo que la matemática es como la literatura: los conceptos y las teorías importantes tienen que enseñarse como literatura, explicando de dónde vienen y por qué sirven. Y eso se considera un crimen en la matemática actual.

–¿Existen en el mundo los objetos matemáticos?

–La física matemática trabaja como si la realidad última del universo fuera matemática. Si este punto de vista tuviera razón, el mundo sería matemático. Yo no sé si esto es así, pero lo que sí creo es que sin teorías no se llega a ningún lado. Y una teoría es un salto de imaginación: las cosas tal como se ven no son la verdad, la verdad está más allá. Como dice Novalis: las teorías son como redes, si uno no las lanza no pesca nada. Einstein dice que cada físico teórico bueno es un metafísico reformado: alguien que cree que el mundo se puede comprender por pensamiento puro.

Por Leonardo Moledo
leonardomoledo.blogspot.com
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Miércoles, 10 Marzo 2010 09:26

Proteger el secreto

Cifrar y descifrar información: antiguo como la Historia; los códigos fueron siempre un terreno de lucha entre quienes los hacían y los que buscaban romperlos y descubrir los secretros.

–¿Quiere presentarse?

–Soy matemático, me doctoré en dinámica topológica y comencé a trabajar en criptografía, en la carrera de Computación. Soy investigador de la Facultad de Matemática, Astronomía y Física de la Universidad Nacional de Córdoba. Hago una mezcla de matemática abstracta y criptografía.

–Cuénteme, o cuente, mejor qué es la criptografía.

–Desde la matemática la criptografía se ocupa de diseñar claves o llaves para cifrar un mensaje o archivo por medio de un algoritmo, que no son más que piezas que se suponen secretas e inviolables, en base a una serie de números. Como es sabido, en informática, la clave sirve para verificar que alguien está autorizado para acceder a un sistema.

–¿Y de qué se ocupa usted? Le cuento que a mí me cuesta horrores acordarme de todas las contraseñas que tengo que usar a diario, en el e-mail, la computadora, el banco...

–Me dedico a criptografía de clave simétrica, que es la más usual. Consiste en que por ejemplo Alicia le envía un mensaje a usted, de forma tal que Eva no la pueda ver. Entonces, Alicia y usted conocen la clave y Eva no. Es la misma clave. Entonces se puede encriptar y enviar algo de manera segura. En general, diseño con mis alumnos algoritmos de encriptamiento. Y últimamente hemos trabajado mucho en funciones de “hash”, que los españoles la traducen como “funciones de picadillo”, que no suena muy lindo.

–¿Qué son?

–Las funciones de hash son algo importante en criptografía. Son las también llamadas digital finger printing. Es la huella dactilar digital. Por ejemplo, frente a archivos muy grandes, en lugar de compararlos completamente, uno mira su huella dactilar, que lo distingue de otros archivos. Es decir, compara sus hashes, que tienen poca información, pero lo distingue de todos los archivos.

–¿Y cómo se los encuentra?

–El diseño de una función de hash consiste en eso. Diseñar una función que toma un archivo de longitud arbitraria y devuelve una huella chiquita de 128 o 256 bits aproximadamente, pero que básicamente lo distingue de otros. Y que en la práctica, computacionalmente sea improbable que uno pueda encontrar dos archivos con el mismo hash. Esas huellas se guardan en tablas de hash.

–La historia de la criptografía demuestra lo difícil que es conservar eternamente un secreto.

–En criptografía moderna, como a lo largo de toda su historia, uno no está frente a una naturaleza indiferente, sino frente a un hipotético adversario inteligente y que se opone a uno. No se puede depender del azar. La idea es que ese adversario no pueda crear otro archivo con el mismo hash. Hay que poder impedir que ese adversario pueda usar ese hash para otro archivo. Para eso los hashes se usan para muchas cosas, cuando se usa un password o clave no se guardan enteros, se hashean, es decir se le saca una huella digital para que no lo puedan copiar. No debería ser fácil reconstruir la password a partir de esa huella, de la misma manera que no se puede reconstruir todo el ADN de una persona conociendo su huella dactilar.

–Se le saca una huella digital...

–Se usan también para las firmas digitales, que asocia la identidad de una persona a un documento. Por ejemplo, para la firma digital de documentos con varios megabytes de información, para evitar el traslado de esos instrumentos, que son muy pesados, y lentos, se hashean los documentos. Y se firma digitalmente el hash.

–¿Es seguro esto? Se debería poder prevenir que si un documento dice que usted me debe mil dólares, usted no debería poder alterarlo y poner que yo le debo un millón.

–Claro, eso se logra en la vida real, mediante las funciones de hash. Pero mire, hasta hace muy poco había un standard, hasta que en el año 2005 una investigadora china diseñó un algoritmo que encontró colisiones, es decir archivos con el mismo hash, cosa que no debería pasar en un lapso de tiempo equivalente a la edad del universo.

–¿Entonces?

–Hay otro standard en Estados Unidos que es el sha 1, se calcula que en muy poco tiempo lo van a poder “atacar”, como se dice en la jerga. Entonces los Estados Unidos llamaron a un concurso internacional para evitar estos ataques y diseñar el sha 3. Nosotros desde Famaf diseñamos un algoritmo, pasamos dos rondas de eliminación y llegamos a quedar entre los 25 finalistas de todo el mundo, fuimos los únicos de Latinoamérica.

–El tamaño del hash es importante entonces...

–Sí, claro, un hash de un bit no serviría para nada. Con 128 bits ya se pueden hacer cosas más complicadas y los algoritmos los usamos como ladrillos...

–¿Ustedes se dedican a construir o a quebrarlas, a cifrar o descifrarlas?


–Nosotros tratamos de construir una buena y revisamos las funciones de otros a ver si encontramos algún error.

–Evidentemente, sólo mantener las claves en secreto, proporciona seguridad. ¿Cómo funciona la criptografía de clave pública?

–Supongamos que estamos en una organización grande

–Ya que estamos supongamos que somos mafiosos por un rato

–Bueno, está bien. Si soy el capo de la mafia, se supone que tengo que tener la clave de todos para poder comunicarme con cada uno y ellos la mía. Ellos deberían tener claves entre sí, que yo no conozca por las dudas por si me agarra la policía. Entonces, se puede utilizar un algoritmo de clave pública. Es así: cada uno tiene dos claves, una privada y una pública. Cada uno publica su clave pública, cualquiera puede mandarle algo encriptado en esa clave, pero sólo él puede leerla. Estos algoritmos son más difíciles que los de clave simétrica y son claves más largas. En general, cierta información de la clave pública se puede deducir, por eso un algoritmo de clave pública hoy no baja de mil bits. En los sistemas de clave pública se utilizan claves que tienen una cierta estructura matemática, ya que deben estar relacionadas entre sí y no ser completamente aleatorias.

–En estas claves se juega con los números primos y el factoreo, ¿no?

–Por ejemplo, las claves públicas usadas en el sistema RSA son el producto de dos números primos. Por eso los sistemas de clave pública requieren mayor longitud de clave que los sistemas simétricos para ofrecer un nivel de seguridad equivalente. En la actualidad, la longitud de clave sugerida para sistemas basados en factorización y logaritmos discretos es de unos 3072 bits para obtener una seguridad equivalente a un sistema de cifrado simétrico de 128 bits. Calcule que tiene 300 cifras.

–¿Y tan difícil es factorizar un número de 300 cifras?

–Sí, por ahora es imposible, pero ya en estos momentos se factorizan números de quinientos bits, esto quiere decir que esas claves ya no sirven.

–¿Y en las firmas digitales cómo es?

–En la firma digital, que es tan demandada en Estados Unidos, se usan algoritmos discretos para firmar el hash. Estos algoritmos discretos son un poco complicados de explicar y de calcular con una calculadora común...

–Todo esto tiene el fragor de una carrera armamentística, realmente...

–Sin dudas, se asemeja bastante.

–¿El universo está encriptado?

–Para que estuviera encriptado, tendríamos que suponer que alguien lo creó y lo encriptó, de manera inteligente...

–O podría ser una encriptación natural...

–En ese caso no sería encriptación, sería ruido.

 Por Leonardo Moledo
leonardomoledo.blogspot.com
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Miércoles, 11 Noviembre 2009 08:42

De la epilepsia a las matemáticas

–Bueno, ustedes trabajan en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Entre Ríos (Fiuner). Díganme algo.

–La gente se sorprende de que en un departamento de matemática trabajemos en investigación con señales reales.

–La gente suele sorprenderse. Ustedes hacen lo que se llama matemática aplicada.

–¿Cuál es nuestra razón de ser? Tratar de desarrollar nuevas técnicas para resolver problemas reales. Empezamos hace muchos años, en este Laboratorio de señales y dinámicas no lineales, trabajando con señales de electroencefalogramas de pacientes epilépticos. Suele asociarse la epilepsia con las convulsiones, pero existen crisis epilépticas asintomáticas, sin convulsiones. El electroencefalograma registra la actividad eléctrica del cerebro. A simple vista, ese perfil se ve como un “pastito” arbitrario. Cuando se produce una crisis epiléptica empieza a ordenarse, aparecen ondas y puntas. Pero ocurre que en determinados tipos de epilepsia esas secuencias no se ven a simple vista. Nosotros desarrollamos una técnica que permite detectar cuándo comienza la crisis epiléptica en esos casos asintomáticos.

–¿Y anticiparla?

–No, verla, simplemente. Poder decir: acá empezó una crisis epiléptica. Recuerde que estamos hablando de casos en los que, a simple vista, la señal, durante el ataque de epilepsia, no se distingue del pastito arbitrario de los tiempos normales. Estamos hablando de fenómenos caóticos, con señales excesivamente irregulares. En este caso la irregularidad persiste: aunque cambia algún parámetro, no hay un patrón de forma observable en el grafismo.

–Un parámetro definido matemáticamente.

–Sí. En la época en que desarrollamos nuestro trabajo, había dos corrientes desde el punto de vista de la fisiología humana. Una sostenía que al producirse la crisis epiléptica ocurría una sincronización de neuronas, y que entonces el modelo que debíamos considerar involucraba mayor cantidad de “actores”. La otra, que no había necesidad de que se sincronizaran más neuronas, sino que bastaba con que algún parámetro biofísico o químico cambiara. Nuestro trabajo abonaría la idea de esta segunda corriente.

–La matemática aplicada decidiendo entre hipótesis fisiológicas previas... interesante. A propósito del caos, leí algo así como: “La relevancia clínica de las herramientas de la teoría del caos no ha sido confirmada. El caos puede ser indicador de mayor complejidad dinámica pero esa complejidad puede provenir de muchos factores distintos”. Como se ve, más que una pregunta es una afirmación.

–Y es verdad. Pero antes de hablar de caos, permítame decirle algo más. Uno podría preguntarse por qué existe la necesidad, como lo hacemos nosotros, de desarrollar nuevas herramientas de análisis de señales en bioingeniería. Y la respuesta es que, sencillamente, las técnicas clásicas que se enseñan en las carreras de grado –la transformada de Laplace, la de Fourier– presuponen que el sistema con el que se trabaja es lineal. Ahora bien, los sistemas biológicos reales, por ejemplo, suelen ser no lineales, no estacionarios y están contaminados con ruido. Es decir que las herramientas clásicas van a dar un resultado, pero el grado de realismo, en la interpretación de ese resultado, queda reducido ante la situación real. En algunos casos permiten resolver el problema y en otros no, como de hecho ocurre con el trabajo que nos planteó una fonoaudióloga argentina radicada en Estados Unidos, que consistía en diferenciar dos patologías de la voz: la disfonía por tensión muscular y una disfonía espasmódica. Ahí, las técnicas clásicas de análisis de señales no permitían diferenciarlas.

–¿Y en ese caso el caos sí era indicador de patología?

G. S.: –Hay grupos que trabajan con caos y miden complejidad en las señales y la utilizan para separar señales de voces patológicas de voces normales. Nuestro caso era más complicado, porque teníamos que distinguir dos voces patológicas con características muy similares en la señal, el registro de una vocal sostenida. De modo que no obtuvimos resultados positivos aplicando las técnicas de la teoría del caos.

–Una patología era muscular, y otra neurológica.

–Sí. Una desaparece con terapia vocal, y la otra tiene causas neurológicas y exige un tratamiento más importante, incluso cirugía. En este caso nosotros trabajamos a partir de la señal de la a sostenida: aaaaaaa. Y sólo a partir de señales. No necesitamos, por ejemplo, un modelo de las cuerdas vocales. Un reconocido fonoaudiólogo de Bélgica me decía que nuestro trabajo no era necesario porque ellos podían diagnosticar las enfermedades a través de una laringoscopia y haciendo que el paciente leyera determinados textos. ¿Cuál es la importancia, entonces, de lo que hacemos nosotros? Que no siempre se cuenta con gente con ese grado de especialización para hacer el diagnóstico. ¿Cómo munir a la gente que no es especialista en el diagnóstico de este tipo de patologías con técnicas que pueda utilizar?

–Pero de todas formas, un diagnóstico más fácil de hacer es mejor que uno más complicado...

G. S.: –Desde luego y el nuestro es no invasivo. Fíjese que en estos casos, para ahorrarse el diagnóstico, lo que suele hacerse es administrar al paciente el tratamiento para una de las enfermedades. Si responde, era ésa.

–Lo que se llama método científico.

–En conclusión, en estos dos casos desarrollamos dos técnicas nuevas, que propusimos a la comunidad científica, aplicadas por nosotros al caso de las señales epilépticas y al de las señales de la voz, pero que a la larga pueden funcionar en problemas muy diversos. La técnica desarrollada para el caso la epilepsia, por ejemplo, se ha aplicado también en economía, en sismología, en trabajos de cristalografía, en áreas que no tienen nada que ver con la bioingeniería.

–Sé que también trabajaron con audífonos.

–¿Cómo lo sabe?

–Me lo contó un pajarito con audífono.

–Sí, fue a partir de una propuesta de una profesora de nuestra universidad, que trabaja en Buenos Aires en calibración de prótesis auditivas. Ella había observado que los audífonos de última generación traían reducción de ruido vía wavelets, una técnica de los años ’90, que no conducía a mejoras significativas, a pesar de que supuestamente debía reducir más el ruido que los métodos clásicos. Nos propuso investigar la cuestión, y propusimos entonces un proyecto para comparar distintos métodos de reducción de ruido. Eso dio lugar a que nos encontráramos con que, en castellano, hay una sola batería, es decir, una sola lista de palabras y de frases con determinadas dificultades fonéticas que se utiliza para calibrar los audífonos. Esa batería es de 1949, y es la que usan todos los fonoaudiólogos en Argentina, la batería de Tato. Lo cierto es que para este tipo de problemas, esa batería presentaba limitaciones de tipo técnico y además tiene palabras en desuso y los pacientes con prótesis auditivas llegan a aprendérselas de memoria, dado que son evaluados con ellas con frecuencia. Conjuntamente desarrollamos entonces una batería propia que ya ha sido validada y publicada en la Revista de la Sociedad Argentina de Fonoaudiología. Luego desarrollamos un software que mezcla grabaciones de nuestra batería con cualquier tipo de ruido, y con cualquier intensidad, y permitiría al fonoaudiólogo calibrar el audífono (u otra prótesis auditiva) y entrenar a los pacientes en su uso. En la versión original, esto habría demandado el uso de noventa discos compactos, entre los que el fonoaudiólogo podía buscar el disco que tenía tal lista de palabras, con tal tipo de ruido –de cantina, de calle, del motor del auto–, con tal intensidad. Existía el problema de manejar toda esa información. El software, que está en etapa experimental, permitirá realizar las selecciones con solo un click del mouse.

–Por ahí leí que no habría forma de patentar ese software.

–En Argentina no se patentan los softwares, lo que se hace es un registro de propiedad intelectual. Es una de las carencias que tenemos a nivel legislativo.

–¿Quieren contarme algo más?

–Sí, hay una pregunta anterior cuya respuesta quedó pendiente. A principios de los ’90 aparecieron y se pusieron de moda las técnicas de análisis de señales que utilizaban el caos, y, en paralelo, lo que se llamó análisis fractal y multifractal. Y en el área de los estudios biomédicos la gente (los científicos) empezó a utilizar ambas técnicas como máquinas de picar carne, que es la expresión que siempre uso. Es decir, sin detenerse previamente a entender bien cómo funciona y analizar cuán sensible es la técnica a la señal analizada. Concretamente, cuán sensible es en particular a la cantidad de datos, a la longitud de la señal. Por ejemplo, en análisis multifractal nosotros mostramos que si uno analizaba señales de variabilidad cardíaca, dependiendo de la longitud de la señal, tenía comportamientos no sólo distintos, sino incluso opuestos desde el punto de vista de la interpretación física o biológica del resultado.

–Estaba más o menos enfermo de acuerdo con la técnica que se utilizó para el diagnóstico.

–Mire, cuando aparece en la literatura, en Nature, digamos, que tal estudio rompió con los paradigmas de la biología usando una de estas técnicas, yo siempre me pregunto: pero, ¿realmente rompió los paradigmas? ¿Qué cantidad de datos usaron?

–Epistemológicamente eso es grave. Llevado al extremo, el razonamiento impediría hacer ciencia: habría una ciencia para cada técnica.

–Sí es grave, pero por eso, justamente, existen los protocolos. En análisis de señales es lícito utilizar distintas técnicas, pero no es lícito comparar resultados que hayan sido obtenidos con protocolos diferentes. A veces dicen, por ejemplo: vamos a juntar señales de voz de distintos fonoaudiólogos. Y resulta que un fonoaudiólogo registra las señales a una frecuencia, con un determinado equipo, y otro lo hace de otra manera. En conclusión, primero debo desarrollar un protocolo de adquisición de señales, que todos los fonoaudiólogos utilicen el mismo, y entonces tendremos una base de datos y podremos validar nuestros estudios para su aplicación en la clínica, para proveer de nuevas herramientas de ayuda al diagnóstico. Eso es lo que están haciendo ahora en un proyecto de la Unión Europea, para el caso de las patologías de la voz.

–Por el protocolo, entonces.
Por Matías Alinovi y Leonardo Moledo
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