¿Qué es la teoría de grupos?

Gracias a la teoría de grupos, las matemáticas del siglo XIX y hasta nosotros consisten, en una de sus principales avenidas, en el estudio y comprensión de los grupos de simetrías que fundan y en los que se expresa la realidad y la naturaleza.

Cada época desarrolla y aprende los lenguajes que necesita para comprender y describir el mundo y la realidad. Las dinámicas de la naturaleza coinciden plano por plano con las dinámicas mismas mediante las cuales aprendemos nuevos lenguajes. Las matemáticas constituyen un ejemplo magnífico al respecto.

Desde la antigüedad, la familia humana ha estado apasionada por la simetría. De manera atávica, y no sin buenas razones, la simetría ha sido vinculada a la belleza, y la ausencia de simetría a la fealdad. U. Eco escribió dos libros al respecto: Historia de la belleza e Historia de la fealdad, con la que, literalmente, se puede ilustrar la idea de base.

En matemáticas, las simetrías minimizan energía y ahorran trabajo e información. En dos palabras, la simetría es el estado más estable y eficiente. Y, sin embargo, son sumamente difíciles de alcanzar. En la base de la idea sobre cómo crecen las cosas en la naturaleza se encuentra la simetría, y así las matemáticas se extienden hacia la química y la biología. La verdad es que la física fundamental, la química y la biología dependen de una amplia variedad de objetos simétricos. Desde el lenguaje hasta la adaptación, desde los virus hasta cada paso del desarrollo evolutivo.

Específicamente, el trabajo sobre simetrías conduce a uno de los terrenos más álgidos de las matemáticas: la teoría de números, la cual, por ejemplo, descansa sobre los números primos. Los números primos son, por así decirlo, los ladrillos de todos los otros tipos de números.

Pues bien, el estudio de las simetrías despega, por así decirlo, gracias a los trabajos de E. Galois, en el siglo XIX. Galois pone de manifiesto, por primera vez en la historia, que la verdadera esencia de las simetrías de un objeto no se encuentran cuando nos fijamos en ellas, una por una. Una simetría al lado de otra, una simetría con la siguiente. Por el contrario, hay que estudiarlas en grupo. Y es exactamente en esto en lo que consiste la teoría de grupos.

Esto significa, de manera precisa, que es preciso pensar la simetría no como algo pasivo, sino como algo activo. Si bien es cierto que la simetría es una propiedad del espacio, se trata de una propiedad activa.

Gracias a la teoría de grupos, las matemáticas del siglo XIX y hasta nosotros consisten, en una de sus principales avenidas, en el estudio y comprensión de los grupos de simetrías que fundan y en los que se expresa la realidad y la naturaleza. Es así como existen, hoy en día, la tabla periódica de los grupos —en la teoría de grupos—, y el Atlas de la simetría, dos obras colosales del pensamiento abstracto.

En efecto, el estudio de la simetría —que coincide, plano por plano, con el estudio de la geometría— pone de manifiesto que para comprender las simetrías debemos abandonar el espacio euclidiano de tres dimensiones.

La teoría de grupos —por ejemplo, los grupos de Lie, o los grupos esporádicos— consiste en el aprendizaje de un lenguaje, a saber: el lenguaje de las simetrías de la naturaleza, que desbordan con mucho los ámbitos inmediatos, aplicados, del pensamiento y la existencia.

Existen grupos y simetrías elementales, indivisibles y divisibles, y toda una variedad, que conduciendo a agrupaciones pares e impares, todas las cuales justamente desembocan en la Tabla Periódica de Grupos, que se compone de 24 grupos de simetrías, y en el Atlas de la Simetría, alcanzados ya a finales del siglo XX.

De manera puntual, existe un grupo de simetrías magnífico que se denomina técnicamente como el Monstruo. Pues bien, la dimensión del espacio más pequeño en el que podemos representarnos a este grupo es de 196.883. La dimensión siguiente en la que podemos representarnos al Monstruo es 842.609.326. Como se lee.

El Monstruo es el grupo de simetrías del universo. Un objeto que cuando se aprecia aparece verdaderamente hermoso, y complejo.

Esto mientras que la inmensa mayoría de las ciencia sociales y humanas permanecen en el espacio de tres dimensiones, y mientras un campo de la física —la teoría de cuerdas— le apunta a espacios de once dimensiones. El contraste es notable y apasionante.

Es el reto del pensamiento abstracto, algo que culturalmente, en ocasiones, aparece subvalorado o despreciado.
En la vida común y corriente dos objetos pueden parecer muy diferentes y, sin embargo, tener las mismas simetrías subyacentes. Pues bien, la naturaleza de la simetría subyacente de un objeto empieza a hacerse evidente sólo cuando se comienza a explorar qué pasa cuando se combinan movimientos simétricos.

La historia de las matemáticas pone en evidencia cómo diferentes culturas y momentos de la historia se han enfrentado con el descubrimiento de nuevos tipos de números. La complejidad de la naturaleza va de la mano con la complejización de los tipos de números. Los números enteros, los racionales, los irracionales, los trascendentes —todos los cuales quedan comprendidos como los números reales.

Adicionalmente, los números irreales, los números complejos, los imaginarios, y las formas modulares. Pues bien, el estudio de las simetrías, sobre la base de la teoría de grupos, ha dado lugar a un nuevo tipo de números: los números surreales. Que son, al parecer, los números que caracterizan, en las matemáticas de punta, a nuestra época. Aunque la mayoría de ciencias y disciplinas permanezcan ignorantes de ello.

Sin embargo, en la esfera de la cultura, las simetrías y la teoría de grupos han logrado un anclaje sólido, aunque poco conocido, o degustado por el gran público. Los dos ejemplos más conspicuos son la música dodecafónica de A. Schönberg (Austria) y la música atonal de I. Xenakis (Grecia).

No sin buenas razones, se ha dicho incluso que la teoría de grupos ha llegado para salvar e impulsar a la complejidad. Muy notablemente a la complejidad computacional. Pero ese ya es otro tema aparte. Digamos, simplemente, que mientras que la simetría es una propiedad del espacio, el tiempo es irreversible. En otras palabras, la flecha del tiempo desvirtúa la simetría. Pero la complejidad computacional merece su propio espacio para otro momento.