Las matemáticas de sistemas discretos se ocupan de aquellos fenómenos, sistemas estructuras y comportamientos que sufren bifurcaciones, quiebres, rupturas, soluciones de continuidad, en fin, complejidad creciente.
En una parte de la sociedad, e incluso de la academia, existe el “imaginario” de que existen “matemáticas cuantitativas” y “matemáticas cualitativas”. Se trata de un error.
La historia de las matemáticas puede presentarse, desde el punto de vista de aquello de que se ocupan tanto como de la filosofía de las matemáticas como, de un lado, las matemáticas de sistemas continuos y, de otra parte, las matemáticas de sistemas discretos.
Los sistemas continuos son aquellos que se pueden explicar —y tratar— mediante métodos analíticos, funciones, límite, cálculo (integral y diferencial), matrices y vectores. Los sistemas continuos pueden ser perfectamente comprensibles mediante los números reales (… –3, –2, –1 0, +1, +2, +3…) y consisten sencillamente en expresiones tales como “a una cosa sigue otra”, “el péndulo está hoy allá, mañana estará acá”, “a rey muerto rey puesto”, y demás. Sin exageraciones, se trata de sistemas lineales y que pueden ser expresados mediante una línea recta o incluso una curva sin cambios súbitos.
Ahora bien, los números reales incluyen a los números racionales, los enteros, los fraccionarios, los números irracionales y a pi (∏).
Por el contrario, los sistemas discretos se ocupan, dicho de manera general, con conjuntos contables, también conocidos como conjuntos finitos. Más exactamente, las matemáticas de sistemas discretos se ocupan de temas apasionantes y novedosos, como grafos e hipergrafos, teoría de redes, todos los problemas de numeración, la teoría de códigos (o de codificación), conjuntos parcialmente ordenados, teoría de conjuntos extremos, combinatoria algebraica, geometría discreta, teoría de probabilidades discretas, y varias de las lógicas no–clásicas.
Sin embargo, asimismo, las matemáticas de sistemas discretos son aquellas que se ocupan de los más importantes problemas relativos a la computación, la teoría de la información, incluyendo los temas relativos a la criptografía, los problemas combinatorios, la teoría de juegos y la teoría de la decisión racional.
En otras palabras, las matemáticas de sistemas discretos se ocupan de aquellos fenómenos, sistemas estructuras y comportamientos que sufren bifurcaciones, quiebres, rupturas, soluciones de continuidad, en fin, complejidad creciente.
Digámoslo de manera franca: todas las matemáticas contemporáneas de punta son matemáticas de sistemas discretos, y la atención se concentra cada vez más en el estudio de esta clase de estructuras y dinámicas en las que la teoría de la computación en general desempeña un papel protagónico. Más exactamente, se trata de la idea según la cual, computar no es otra cosa que transformar una cosa en otra, y así el procesamiento de información, por ejemplo, es el proceso mediante el cual un input cualquiera es transformado en un output determinado, que, ulteriormente, no se explica ni se reduce al input, sino, por el contrario, por el proceso mismo de transformación. Las matemáticas discretas son las matemáticas de los sistemas de computación —más allá de discusiones técnicas, pero importantes, acerca de la máquina clásica de Turing (MT), las máquinas no–clásicas de Turing, y otras, por ejemplo.
Otra manera, muy afortunada, de comprender el tema consiste en el reconocimiento de que los sistemas continuos son analógicos, en tanto que los sistemas discretos son digitales.
De esta suerte, de manera puntual, las matemáticas de sistemas discretos se ocupan de tiempos, espacios, procesos, estructuras y dinámicas caracterizados por la finitud, en tanto que las matemáticas de sistema continuos hablan, abierta o tácitamente, de sistemas infinitos o ilimitados.
Ahora bien, la dificultad estriba en que existen tanto sistemas discretos lineales como sistemas discretos no–lineales. En cualquier caso, cabe destacar que uno de los Problemas del Milenio –que son los, verosímilmente, “últimos” problemas fundamentales de las matemáticas, identificados por el prestigioso Instituto Clay– son los problemas P versus NP, que pueden ser dichos como la columna vertebral de todos los problemas referentes a los sistemas complejos.
Ha sido ampliamente reconocido por parte de matemáticos, filósofos y educadores que las matemáticas de sistemas discretos contribuyen inmensamente a mejorar el razonamiento (¡no el cálculo!), y a la resolución de problemas –de prácticamente cualquier orden–. De manera conspicua, cabe decir que las matemáticas de sistemas discretos permiten, inmensamente mejor que cualquier otra matemática, el trabajo con posibilidades.
Si, de manera atávica, la matemática clásica ha producido un cierto mito debido al trabajo con ecuaciones, fórmulas y tecnicismos semejantes, son ellas las que han conducido a un cierto analfabetismo matemático y temor hacia las matemáticas. Esa matemática es clásica y, hoy, vetusta. Por el contrario, las matemáticas de sistemas discretos se desarrollan, entre otros caminos, mediante la graficación, la topología y la geometrización, los juegos de combinación (combinatorios) y muy significativamente, eso: mediante diversos juegos.
Cultural y socialmente prevalece en una parte de la población el fantasma –negativo, por definición– de las viejas matemáticas. En contraste, las más jóvenes generaciones pueden formarse de cara a lo mejor de las matemáticas de punta contemporáneas, que son matemáticas en las que la forma y la estructura, la dinámica y el proceso, por ejemplo, saltan al primer plano, muy por encima y muy por delante de los habituales procedimientos de orden algebraico (y sus derivaciones).
Sin ninguna duda, la mejor puerta de entrada a las matemáticas de sistemas discretos son los estudios de conjuntos y los problemas computacionales. Al fin y al cabo, por ejemplo, el mundo no es siempre y necesariamente un conjunto total o plenamente ordenado. Pues bien, si tal es, por ejemplo, el caso, podemos trabajar con conjuntos parcialmente ordenados (poset, en inglés) o con conjuntos extremos. Podemos así comprender y trabajar mejor con la complejidad del mundo, real o posible.
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